数学归纳法

第一数学归纳法

先证 $n=1$ 成立，再证若 $n=k$ 成立，推得 $n=k+1$ 成立

第二数学归纳法（完整归纳法）

先证 $n=1$ 成立，再证若 $n\le k$ 成立，推得 $n=k+1$ 成立

反向归纳法

先证对 $\mathrm{\forall }n=2^k$ 成立，再证若 $n=k+1$ 成立，推得 $n=k$ 成立

$2^k$ 可替换为 $k$ 的无穷序列

极限

证明极限的存在性

• $\epsilon -N$ 定义及其否定
• Cauchy 准则
• 单调有界定理
• 海涅定理

求极限的方法

• 等价代换
  • Taylor 公式
  • Stirling 公式
  • 调和级数：对数 + 欧拉常数
• 常用变形
  • 指对变换
  • 分子有理化
  • 连续性将极限拿进去
• 两边夹法则（放缩）
• L'Hospital 法则、Stolz 公式
• 凑积分定义
• 收敛级数
  • 收敛级数通项趋于 0
  • 收敛级数余项趋于 0
  • 作差构建级数 $x_n=\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}(x_i-x_{i-1})+x_1$，判断 $\sum _{i=2}^{\mathrm{\infty }}|x_i-x_{i-1}|$ 的收敛性，加之 M 判别法
• 罕见：$e^t$ 乘积先求导再积分构造

Stirling 公式

$$n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e}{)}^n{e}^{\frac{{\theta }_n}{12n}},0\le {\theta }_n\le 1$$

Wallis 公式

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi }{2}& n\text{为偶数}\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}& n\text{为奇数}\end{array}\end{array}$$$$I_{m,n}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{m}x{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}\frac{\pi }{2}& m,n\text{均为偶数}\\ \frac{(m-1)!!(n-1)!!}{(m+n)!!}& \text{其他}\end{array}$$

调和级数（欧拉级数）

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+C+{\epsilon }_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\epsilon }_n=0$$

其中 $C$ 为欧拉常数。

两边夹法则

• 方法一
  • 放大：每个都放到最大
  • 放小：只要最大的一个
  • 这样可以都向同一个方向放缩
• 方法二
  • 平均值放缩
  • 调和，几何，算数，平方
• 方法三
  • 反用拉格朗日公式，对 $\xi$ 放缩

常用 Taylor 公式

$$\begin{array}{rl}& e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots \\ \\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \\ \\ & \sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \\ \\ & \ln (1+x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots \\ \\ & (1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_{\alpha }^n{x}^n=1+\frac{\alpha }{1!}x+\frac{\alpha (x+1)}{2!}{x}^2+\cdots \end{array}$$

无穷阶次比较
令 $0<\theta <1,k\in \mathbb{N},a>1$,当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时

$$\ln \ln n\ll \ln n\ll n^{\theta }\le n^k\ll a^n\ll n!\ll n^n$$

实数基本定理

1. 确界原理
2. 单调有界原理
3. Cauchy 准则
4. 致密性定理
5. 聚点定理
6. 区间套定理
7. 有限开覆盖定理
8. Dedekind 分割定理

连续性

连续性的证明

• 利用定义
• 左、右极限与值相等
• 反证法使用序列语言
• 邻域语言

连续性 $⟹$ 介值性
介值性 + 单射 $⟹$ 严格单调且连续

一个间断点的例子

$$\begin{array}{rl}& f(x)=x^2\sin \left(\frac{1}{x}\right)\\ \\ & f^{\prime }(x)=2x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-\cos \left(\frac{1}{x}\right)\end{array}$$

$f(x)$ 在 0 处是可去间断点，$f^{\prime }(x)$ 在 0 处是第二类间断点（在 0 处左右两侧均没有单侧极限）

一致连续性的证明：

• 导函数 $f^{\prime }$ 有界 $⟹$Lipschitz 条件 $⟹$ 一致连续性
• 反证法 + 定义的否定形式构造序列

Cantor 定理：
闭区间上的连续函数必定一致连续

一元微分学

导数的证明与计算：

• 导数定义、定义展开式
• 在一点处导数存在等价于左右导数存在且相等
• 导数极限定理
• 导数处处存在意义下，导数无第一类间断点

高阶导数

• Leibniz 公式
• 数学归纳法
• 构造递推方程
• Taylor 展开式

Leibniz 公式：

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

一些高阶导数

$$\begin{array}{r}(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})\\ (\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})\end{array}$$

特殊小技巧：
例 3.1.7：根据导数定义，构造 $\sum _{k=1}^n(\frac{x}{2^{k-1}}-\frac{x}{2^k})$ 两两相消

微分中值定理及相关证明：

• Rolle 中值定理
• Lagrange 中值定理
• Cauchy 中值定理
• 构造辅助函数
• 联系了原函数与导函数的关系
• Fermat 定理
• 若是关于 $f(x)$ 的证明，可由 $f(x\pm h)\mathrm{或}f(b)$ 在 $f(x)$ 处 Taylor 展开

Rolle 定理推其他两个定理，可以通过构造行列式形式的辅助函数 $F(x)$ 来证明证明

$$F(x)=\left|\begin{array}{ccc}f(a)& g(a)& h(a)\\ f(b)& g(b)& h(b)\\ f(x)& g(x)& h(x)\end{array}\right|$$

不等式证明：

• 单调性放缩
• 微分中值定理
• 数列：利用微分中值定理构造差分相消结构
• Taylor 公式
• 求极值
• 单调极限
• 凹凸性

凸函数

• 任意內闭子区间有界
• 任意内闭子区间满足 Lipschitz 条件

一元积分学

积分的计算及证明

• 拆分区间（一段函数有界、区间长度区域 0，一段区间长度有限、函数一致趋于 0）
• 平移伸缩区间至 $[0,1]$，方便计算
• 注意区分各量的独立性，看时机赋值

黎曼可积

• 黎曼积分定义
• 振幅和任意小
• 异常振幅的区间长度任意小

可积性性质及一些证明方法

• 闭区间上可积函数的连续点处处稠密

反常积分收敛性

定号

M 比较判别法
变上限积分有界

变号但单调

Dirichlet：g 单调趋于 0 且 f 变上限积分有界
Abel：g 单调有界且 f 无穷级数收敛（f 变上限积分极限存在）

基本方法

定义、Cauchy、运算性质
分部积分或变量代换转为别的式子

有理函数求积分（待）

级数

一致连续性

• 定义
• Cauchy 准则
• 余项 放大法
• 确界法
• 反证 + 序列

$$(1-x{)}^{-\frac{1}{2}}=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}{x}^n,|x|<1$$

一致收敛（待）

不等式专题

乘积到乘积：Cauchy 不等式 -> Holder 不等式
加法到加法：三角不等式 -> Minkowski 不等式
乘积到加法：均值不等式 -> Young 不等式

Cauchy 不等式

$$||(x,y)||\le ||x||||y||$$

Holder 不等式

$$||fg|{|}_1\le ||f|{|}_p||g|{|}_q$$

Minkowski 不等式

$$||f+g|{|}_p\le ||f|{|}_p+||g|{|}_p$$

Young 不等式

$$ab\le \frac{1}{p}{a}^p+\frac{1}{q}{b}^q$$

Young 不等式（推广）

$$ab\le {\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^b{f}^{-1}(y)dy$$

其中, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 连续其严格单调递增, $f(0)=0$.

Cauchy 不等式（连续）

$$({\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x{)}^2\le ({\int }_a^{b}f(x{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}({\int }_a^{b}g(x{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$$

Holder 不等式（连续）

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x)g(x)\mathrm{d}x\le {({\int }_{\mathrm{\Omega }}|f(x){|}^p\mathrm{d}x)}^{\frac{1}{p}}{({\int }_{\mathrm{\Omega }}|g(x){|}^q\mathrm{d}x)}^{\frac{1}{q}}$$

其中 $p>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

Minkowski 不等式（连续）

$$({\int }_{\mathrm{\Omega }}(f(x)+g(x){)}^p\mathrm{d}x{)}^{\frac{1}{p}}\le ({\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^p(x)\mathrm{d}x{)}^{\frac{1}{p}}+({\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^p(x)\mathrm{d}x{)}^{\frac{1}{p}}$$

Holder 不等式（离散）

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}{\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^q\right)}^{\frac{1}{q}}$$

其中 $p>1,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

多元函数

多元函数求极限

• 两边夹法则
• 变量替换，转为一元函数
• 极坐标
• 初等变形
• 若能事先看出极限，可用 $\epsilon -N$ 方法证明

Stokes 公式

$${\int }_{d\mathrm{\Omega }}\omega ={\int }_{\mathrm{\Omega }}d\omega$$

Green 公式

$${\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}Pdx+Qdy={\int }_{\mathrm{\Omega }}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$$

随时补充

凸函数在开区间上连续.

相容线性方程组指的是方程有解，即有唯一解或无穷多解，不相容即指无解.